OpenAI는 나비에–스토크스 문제를 잘못 풀었을까요?

AI 요약

OpenAI는 대규모 언어 모델(LLM)이 만든 증명으로 나비에–스토크스(Navier–Stokes) 문제의 한 변형을 풀었다고 발표했습니다. 클레이 수학연구소(Clay Mathematics Institute)의 밀레니엄 상금 문제 조건에 맞는 성과지만, 수학자들이 더 근본적인 문제로 여기는 ‘외력 없는’ 경우를 해결한 것은 아닙니다. 사이언티픽 아메리칸은 이 차이와 새로 나온 반증 결과를 짚습니다.

외력이 있는 문제와 없는 문제

나비에–스토크스 방정식은 유체의 흐름을 설명합니다. 밀레니엄 문제는 방정식의 해가 특정 지점에서 무한대로 커지는 ‘폭발(blow-up)’이 가능한지 묻습니다. 외력은 중력처럼 유체 바깥에서 작용하는 힘입니다. 현실의 유체에는 외력이 작용하지만, 많은 수학자는 외력을 넣지 않고 유체 자체의 성질만으로 폭발이 가능한지에 더 관심을 둡니다.

수학자 디에고 코르도바(Diego Córdoba)와 루이스 마르티네스조로아(Luis Martínez-Zoroa)는 외력을 정교하게 설계해 폭발을 일으키는 방법을 연구해 왔습니다. 9월 7일 다른 수학자 두 명이 이들의 프로그램과 AI를 활용해 마찰 없는 유체의 폭발 사례를 만들었고, OpenAI는 하루도 지나기 전에 증명을 완성했다고 기사에서 전합니다. 발표 시점과 연구 경로를 두고 관련 수학자들과 OpenAI 사이에 논쟁이 벌어졌습니다.

공식 조건에는 맞지만, 더 넓은 문제는 남았습니다

기사는 OpenAI가 외력을 뺀 문제에는 이 방법을 확장할 수 없다는 수학자 세 명의 새 증명을 소개합니다. 외력을 없애면 폭발도 사라지며, OpenAI의 방법은 현실에서 보기 어려운 매우 인위적인 외력에 기대고 있다는 설명입니다. 시카고대의 루이스 실베스트레(Luis Silvestre)는 클레이 문제가 해결됐더라도 나비에–스토크스 방정식의 주요 문제는 풀리지 않았다고 말합니다.

다만 OpenAI의 결과를 공식 조건을 충족하지 못한 성과로 볼 수는 없습니다. 2000년 찰스 페퍼먼(Charles Fefferman)이 작성한 문제 설명에는 외력을 허용하는 선택지 C가 포함돼 있습니다. 따라서 기사는 OpenAI가 클레이 연구소가 제시한 문제를 풀었다고 인정하면서도, 외력 없는 경우에 대한 수학계의 관심과는 거리가 있다고 구분합니다. 외력이 있을 때만 방정식이 폭발하는지, 그렇다면 그 결과를 어떻게 평가할지는 아직 불확실합니다.

AI가 잘하는 증명, 사람이 풀어야 할 질문

곤살로 카오-라보라(Gonzalo Cao-Labora)는 외력이 있을 때만 폭발이 가능하다는 사실이 확인되면 사람들이 문제 설명에 외력을 넣지 말았어야 했다고 생각할 수 있다고 말합니다. 그는 LLM이 폭발 사례처럼 구체적인 대상을 구성하는 데 강하지만, 폭발이 불가능하다는 사실을 증명하는 새로운 이론을 만드는 데는 아직 약하다고 덧붙입니다. 기사에 따르면 이번 논쟁은 AI의 결과뿐 아니라 어떤 문제를 풀도록 정하고 성과를 어떻게 설명할지도 함께 묻습니다.

Hacker News 반응

• @bmacho — 기사에 따르면 나비에–스토크스 문제에는 두 가지 정식화가 있으며 둘 다 흥미롭습니다. 하나는 외력이 없는 유체의 거동이고, 다른 하나는 외력이 있는 유체의 거동입니다. 반례는 까다로운 외력장을 쓸 수 있는 두 번째 문제에서 더 쉽게 찾을 수 있습니다.
  • @tomjakubowski — 이 소박하고 매력적인 영상에서 압축성 유체의 나비에–스토크스 방정식은 특이점을 찾기가 훨씬 쉽다고 배웠습니다. 그 문제는 밀레니엄 상금 문제 범위 밖입니다. 첫 특이점은 1998년 쉬포싱(Zhouping Xin)이 찾았습니다.
  • @HarHarVeryFunny — 맞습니다. OpenAI는 더 어려운 외력 없는 폭발이 아니라 외력이 있는 경우를 증명했습니다. 밀레니엄 문제 설명은 둘 중 어느 쪽이든 상을 받을 수 있게 했습니다. 맞춤형 외력을 설계할 수 있으니 외력이 있는 문제가 더 쉽습니다. 현실적인 힘일 필요도 없습니다. 폭발을 만드는 일이 유체 역학보다 맞춤 외력 함수의 결과에 가까울 수도 있습니다. OpenAI는 조건을 합법적으로 충족했지만, 가장 비현실적이고 따라서 가장 덜 흥미로운 방식으로 해낸 듯합니다.
  • @adriand — 수학자인 친구가 단체 대화방에 이렇게 보냈습니다. 제목은 다소 오해를 부릅니다. 매끄러운 외력을 쓰는 변형은 클레이 문제 정식화에서 허용한 네 가지 경우 중 하나였습니다. 풀어볼 가치가 있습니다. 흥미롭고 인상적인 결과이기도 합니다. 외력이 없는 경우도 흥미롭고 여전히 미해결입니다. 26년이 지난 뒤 그다지 흥미롭지 않았다고 말하며 증명을 깎아내리는 건 타당하지 않습니다. 저는 이런 태도를 처음 봅니다.
• @ChickeNES — 그러니까 찰스 페퍼먼이 문제를 제대로 명시하지 못했다는 말인가요?
  • @dgellow — 그게 쟁점은 아닙니다. 클레이 연구소 문서 2쪽을 보면 선택지 C가 네 가지 문제 중 하나로 제시돼 있습니다. 외력을 허용하는 선택지이고 OpenAI가 푼 문제입니다. OpenAI가 클레이 연구소가 요구한 문제를 풀었다는 점에는 의심의 여지가 없습니다. 다만 선택지 C는 수학계가 더 널리 관심을 두는 문제가 아닌 틈새 사례입니다.
  • @hatthew — 수학계가 선택지 C에 관심이 없다면 페퍼먼이 처음부터 선택지에 넣지 말았어야 한다는 말인 것 같습니다.
  • @ChickeNES — 네, 맞습니다.
  • @dragonwriter — 페퍼먼과 수학계 전체는 같은 주체가 아닙니다. 두 쪽의 관심사가 다른 건 놀랍지 않습니다.
  • @aesthesia — 외력 항을 제외하는 나비에–스토크스 존재성 조건과, 반례를 찾을 때 외력을 허용하는 조건 사이에 차이가 있다는 점이 흥미롭습니다. 이론상 A와 C가 모두 참일 수도 있습니다.
• @olliepro — 전형적인 목표 옮기기입니다. “허점을 이용했다”는 게 수학에서 훌륭한 문제를 푸는 방식이기도 합니다.
  • @dgellow — 논점은 그게 아닙니다. 기사는 OpenAI가 수학계가 관심을 두는 문제가 아니라 틈새 버전을 풀었다고 말합니다.
  • @krackers — 수학계가 관심을 두지 않는 문제라면 왜 밀레니엄 상금 문제에 선택지로 허용했나요?
• @jonlong — 아니요. OpenAI는 “잘못된” 나비에–스토크스 문제를 푼 게 아닙니다. 가장 어려운 외력 없는 폭발 문제를 풀지는 않았지만, 명시적으로 허용된 외력 조건을 선택해 클레이 밀레니엄 문제를 문서에 적힌 대로 풀었습니다. 사이언티픽 아메리칸은 LLM이 문제의 허점을 찾아 이용했다고 쓰는데, 선정적인 표현입니다. 선택지 네 개 중 C를 고른 건 허점을 발견한 일이 아닙니다. 다만 OpenAI의 방법이 외력 없는 경우로 확장되지 않는다는 강한 논거가 제시됐고, 이 부정적 결과 자체는 새롭고 흥미롭습니다.
  • @hn_throwaway_99 — 전적으로 동의합니다. 선정적 표현이라고까지 부르진 않겠지만, 기사가 처음에는 “허점”이라는 자극적인 틀을 내세우다가 끝부분에서는 클레이 연구소의 공식 정식화가 외력을 허용했다고 인정하는 방식이 짜증 납니다.
  • @HarHarVeryFunny — 허점이라고 부른다면, 조건이 요구한 대로 외력 함수는 매끄럽지만 해석적이지는 않았다는 점일 겁니다. 콤팩트 지지 범프 함수(compactly supported bump function)를 구성해 시공간의 정밀한 지점마다 작은 힘을 줘 소용돌이가 수학적 폭발을 일으키게 한 것 같습니다.
• @cpard — AI가 이 문제를 풀었다는 소식이 퍼졌을 때, AI가 우리가 이해할 수 없는 증명을 내놓으면 어떻게 될지 걱정했습니다. 지금은 AI가 쉬운 문제를 골라 속였는지 논쟁하고 있습니다. 적어도 무슨 일이 벌어졌는지는 이해하고 있다는 뜻입니다. 수학과 인간의 지적 활동이 강한 감정을 자극하는 콘텐츠 마케팅으로 바뀌지 않았으면 합니다. AI와 AI의 도움을 받을 수 있는 학문 모두에 해가 될 것 같습니다.
• @kittikitti — 공개된 질문은 클레이 연구소가 이 해법으로 OpenAI나 다른 연구자에게 밀레니엄 상금을 줄지 여부입니다. 저는 주지 않을 것이라고 추측합니다. OpenAI의 증명은 동료 심사를 받고 있고, 기사에 제시된 반론을 보고 생각이 바뀌었습니다. 클레이 연구소가 증명을 공식적으로 인정하거나 참일 가능성이 높다고 밝히기 전에는 그렇게 가정할 수 없습니다. 증명을 읽고 AI의 도움을 받아 이해하거나 약점을 찾아보고 싶습니다.

원문: Scientific American / 번역·요약: Trawling