AI가 준 리만 가설을 증명했습니다. 이제 무엇이 달라질까요?

AI 요약

리만 가설은 리만 제타 함수의 모든 비자명한 영점이 실수부 1/2인 직선 위에 놓인다는 추측입니다. 제타 함수의 영점은 소수가 얼마나 규칙적으로 분포하는지와 연결됩니다. 가설이 참이면 소수 정리에서 제시하는 평균 분포와 실제 분포 사이의 편차가 항상 작다고 보장할 수 있습니다. 처음 12조 개 영점은 1/2 직선 위에 있는 것으로 수치 검증됐지만, 모든 영점에 대한 증명은 아직 없습니다.

준 리만 가설(quasi-Riemann hypothesis)은 영점이 0과 1 사이의 기존 띠보다 좁은 영역 안에 있다고 증명하는 명제입니다. 영역이 좁아질수록 소수 분포에 관해 더 많은 결론을 얻습니다. OpenAI는 두 가지 증명을 발표했습니다. 9월 30일자 199쪽 증명은 영점의 실수부가 1/8과 7/8 사이에 있다고 주장하며 Lean으로 형식 검증을 마쳤습니다. 거의 일주일 뒤 나온 49쪽 증명은 실수부가 1/12와 11/12 사이에 있다고 주장하지만, 아직 형식 검증을 거치지 않았습니다. 두 번째 결과가 더 약하지만 짧고 비슷한 기법과 함의를 담아 수학자들은 주로 이 증명을 검토하고 있습니다.

증명의 수학적 구성

수론 전문가들은 공개 뒤 증명을 살펴본 결과, 대체로 결론이 맞다고 보고 있습니다. 다만 모든 세부를 사람이 확인하고 이해해야 정리로 받아들일 수 있다는 견해도 있습니다. Peter Sarnak은 이번 학기 강의를 증명 연구에 활용하고 있습니다. Maksym Radziwiłł은 증명의 논지를 반쪽짜리 개요로 설명할 수 있다고 밝혔고, 다른 수학자들은 7쪽에서 13쪽 분량의 해설을 작성해 공유하고 있습니다.

증명의 새로움은 완전히 새로운 개념을 도입한 데 있지 않습니다. 수학자들은 오래된 아이디어 사이의 연결을 찾아 결합한 점을 성과로 꼽습니다. Sarnak은 제타 함수를 더 넓은 함수족의 한 구성원으로 보고 그 함수족에 관한 명제를 증명하는 접근을 오래 제안해 왔습니다. 하지만 어떤 함수족을 택해야 할지는 분명하지 않았습니다. OpenAI의 모델은 이전에 주목받지 못한 함수족을 찾아냈고, 그 과정에는 수학자들이 연구해 온 메타플렉틱 형식(metaplectic forms)이 필요했습니다. 2021년 Radziwiłł과 Alexander Dunn이 증명한 공식과 여러 수학자의 기존 결과도 증명에 쓰였습니다.

수학자들은 자신들의 도구만으로는 준 리만 가설을 증명하기 어렵다고 여겨 다른 수론 분야의 기법이 필요하다고 생각해 왔습니다. 이번 결과는 그 판단과 달리 기존 도구의 조합으로 증명이 가능했음을 보여줍니다. 반면 이 기법을 더 발전시켜 7/8 경계를 리만 가설의 1/2까지 좁힐 수 있을지는 불투명합니다. Will Sawin은 새 방법을 충분히 이해한 뒤에도 완전한 리만 가설과의 거리가 예전과 비슷할 가능성이 높다고 봤지만 확신하지는 않았습니다. Thomas Bloom은 준 리만 가설도 불과 몇 주 전에는 증명하기 어려워 보였다는 점을 들어 예상 밖의 진전을 배제하지 않았습니다.

원문: Quanta Magazine / 번역·요약: Trawling