힐베르트 공간에서는 양자적으로 모든 가능성을 다룹니다

AI 요약

양자역학은 입자가 지금 어디 있는지를 고전역학처럼 추적하기보다, 측정했을 때 나올 수 있는 여러 결과와 그 확률을 다룹니다. 이 가능성을 표현하는 수학적 무대가 힐베르트 공간(Hilbert space)입니다. 존 폰 노이만(John von Neumann)은 1920년대에 서로 다른 모습으로 전개된 하이젠베르크의 행렬역학과 슈뢰딩거의 파동역학을 하나의 틀로 정리했습니다. 두 이론은 계산 방식은 달랐지만 같은 양자 상태를 나타내며, 폰 노이만은 그 상태를 공간 안의 벡터로 표현했습니다.

상태와 측정

고전적인 동전은 앞면이나 뒷면 가운데 하나로 놓여 있다고 생각합니다. 양자계에서는 관측 전 상태가 여러 가능한 결과의 중첩(superposition)으로 표현됩니다. 예를 들어 빨강, 노랑, 초록 가운데 하나로 측정되는 신호등을 생각하면, 각 색에 대응하는 축이 있는 3차원 힐베르트 공간에서 상태 벡터가 어느 방향을 향하는지로 각 결과의 확률을 나타냅니다. 벡터가 빨강 축에 가까울수록 빨강으로 측정될 확률이 높습니다.

관측 전에는 계의 상태가 외부와 상호작용하면서 벡터가 공간 안에서 연속적이고 예측 가능한 방식으로 변합니다. 관측하면 벡터는 가능한 측정 결과 가운데 하나에 해당하는 축으로 무작위로 투영됩니다. 그 뒤 같은 측정을 반복하면 같은 결과가 나옵니다. 기사는 이를 중첩이 사라지는 과정으로 설명합니다.

공간의 차원과 표현

가능한 결과의 수가 늘면 힐베르트 공간의 차원도 늘어납니다. 두 상태를 갖는 큐비트(qubit)는 2차원 공간으로 표현하고, 세 가지 결과를 갖는 신호등은 3차원 공간으로 표현합니다. 입자가 우주의 어느 위치에서든 발견될 수 있다고 보면 위치를 나타내는 공간은 무한한 차원을 가집니다.

폰 노이만의 수학적 정의에서 힐베르트 공간은 완비성(completeness)을 갖고 내적(inner product)을 계산할 수 있어야 합니다. 완비성은 공간에 필요한 점이나 영역이 빠지지 않았다는 뜻이며, 내적은 상태 벡터가 측정 결과 축과 얼마나 정렬됐는지 계산하는 연산입니다. 공간의 축은 관측하려는 물리량에 맞춰 선택합니다. 전자의 위치를 알고 싶을 때는 위치 축을 쓰고, 운동량을 알고 싶을 때는 운동량 축을 씁니다. 어떤 축을 고르더라도 바탕이 되는 공간은 같습니다.

이 관점에서 행렬역학과 파동역학은 같은 상태와 공간을 서로 다르게 표현합니다. 하이젠베르크의 방식은 벡터를 기준으로 축이 회전하는 그림에 해당하고, 슈뢰딩거의 방식은 축을 고정한 채 벡터가 움직이는 그림에 해당합니다. 두 방식은 서로 다른 예측을 내놓는 이론이 아니라 같은 양자역학을 나타내는 수학적 관점입니다.

힐베르트 공간은 실재인가

힐베르트 공간을 자연의 근본 무대로 볼지는 의견이 갈립니다. 숀 캐럴(Sean Carroll)은 양자역학이 자연의 근본 이론이라면 힐베르트 공간도 실재의 근본 무대로 봐야 한다고 주장합니다. 조너선 소스(Jonathan Sorce)는 힐베르트 공간이 많은 양자계를 설명하는 데 유용하지만 모든 계에 맞는 단일한 구조는 아니라고 봅니다. 시공간 자체를 양자 대상으로 설명하려는 연구에서는 폰 노이만 대수(von Neumann algebra)처럼 힐베르트 공간을 출발점으로 삼지 않는 수학적 틀도 다룹니다. 폰 노이만 자신도 1935년 편지에서 힐베르트 공간만으로 모든 문제를 다루려는 생각에 의문을 나타냈습니다.

Hacker News 반응

• @LPisGood — 확률이 0이라고 해서 불가능하다는 뜻은 아닙니다.
  • @voxl — 이 경우에는 그렇습니다. 구간에서 무작위 표본을 뽑는 효과적인 방법을 제시하면 결국 계산 가능한 실수 가운데서 고르게 됩니다. 계산 가능한 실수는 가산 집합입니다.
  • @fc417fc802 — 물리적 계산 장치나 어쩌면 물리적 현실 자체의 한계를 말하는 것 같습니다. 이론에 결함이 있다는 뜻은 아닌 것 같습니다.
• @kdavis — 호킹 복사와 언루 효과는 양자장론이 전개되는 하나의 절대적인 힐베르트 공간이 없다는 사실에 기대고 있습니다. 예를 들어 관성 관측자는 진공을 입자가 없는 상태로 보지만, 일정하게 가속하는 관측자는 같은 진공에 입자가 있다고 봅니다. 대수적 양자장론(AQFT)은 힐베르트 공간을 출발점으로 삼지 않고 파생되는 개념으로 다룹니다.
  • @empiricus — 양자장론도 여전히 힐베르트 공간을 사용한다고 생각했습니다.
  • @freehorse — 포크 공간(Fock space)도 힐베르트 공간 아닌가요?
• @rootedbox — 힐베르트 공간은 도구이자 추상화이며 지도입니다. 지도와 영토는 다릅니다.
  • @japanuspus — 아닙니다. 힐베르트 공간이 영토이고 우리가 지각하는 고전 세계가 지도입니다.
  • @meindnoch — 증명해 보세요!
• @dbvdh — 가능한 것은 전부가 아니라 물리 법칙이 허용하는 것뿐입니다. 에너지 보존도 지켜야 하는 것처럼 미묘한 차이가 있습니다.
  • @shiandow — 양자역학에서 에너지 보존은 생각보다 엄격하지 않습니다. 결국에는 어떻게든 균형이 맞습니다.
• @sunray2 — 힐베르트 공간에 어떤 것이 존재한다고 해서 그 일이 가능한 것은 아닙니다. 케터를(Ketterle)와 다른 사람들이 말한 요점은 새로운 이론과 실험으로 자연과 힐베르트 공간의 구조가 질문에 줄 수 있는 결과를 탐구한다는 것입니다.

원문: Quanta Magazine / 번역·요약: Trawling