인터랙티브용 새로운 등적 지도 투영법 — 줌인하면 Mercator로 자연스럽게 전환

본문

UN이 국가 크기를 불균형하게 표현하는 Mercator 대신 Equal Earth 투영 사용을 권장하는 비구속적 결의안 'Correct the Map'을 통과시킨 것이 이 글의 출발점입니다. 저자는 Mercator가 방향을 정확히 보존하는 '각도 보존(conformal)' 특성 덕분에 줌 가능한 웹·모바일 내비게이션 지도에 적합하다고 지적하며, 전역 축소 상태에서는 등적이고 확대하면 Mercator로 매끄럽게 전환되는 하이브리드 투영법을 제시합니다. 전환 중간 상태는 절충 투영이 되어 등적은 축소 상태에서만, 각도 보존은 충분히 확대된 후에만 성립한다고 명시합니다.

단순한 수식에 녹아든 하이브리드 설계

핵심 수식은 atanh(sin(φ)·a)/a 형태로, 순방향과 역방향 모두 폐형식(closed-form) 함수입니다. 저자는 Mercator의 여러 정의 중 atanh sin x 형태에 주목했는데, 그 안에 등적 함수인 sin x가 내장되어 있어 이를 스케일 다운했다가 atanh 이후 다시 스케일 업하면 자연스러운 트위닝 함수가 된다고 설명합니다. 파라미터 a를 조절하면 순수 원통형 버전이 등적 원통 투영과 각도 보존 원통 투영 사이를 보간하므로, 줌 레벨에 따라 a만 바꿔 Mercator로 전환할 수 있습니다. 반면 Equal Earth는 다수의 피팅 상수를 필요로 하고 역변환에 Newton 반복법을 써야 합니다. 저자는 Snyder의 'Map projections: A working manual'과 'Flattening the Earth'를 뒤져 이 공식의 선행 사용을 찾지 못했다며, 선례가 발견되면 페이지를 갱신하겠다고 밝혔습니다. 등적 성립 증명은 부록 A에 실려 있습니다.

지역별 왜곡 비교

가장자리에 위치해 왜곡되기 쉬운 미국·멕시코, 호주·뉴질랜드, 동북아시아는 Equal Earth 대비 기울어짐(skew)이 약간 줄었고, 아프리카 같은 적도 대륙은 수직 방향 신장이 완화됩니다. 남미는 혼재된 결과로, 대륙 전체는 새 지도가 나아 보이지만 아르헨티나와 칠레는 Equal Earth가 더 자연스럽다고 평가합니다. 유럽은 가장 큰 예외입니다. 본초자오선과 겹치는 '행운' 때문에 Equal Earth에서 좋아 보이며, 저자는 유럽을 예쁘게 만들려면 큰 곡률을 도입해 다른 국가들을 희생해야 한다고 지적합니다. 다만 회전 가능한 지도에서는 큰 곡률이 오히려 단점이 되어, 유럽을 화면 가장자리로 팬하면 평평한 새 배열이 더 알아보기 쉽다고 주장합니다.

설계 여지와 배경

새 투영은 북극·남극의 공간 낭비가 적습니다. 그린란드 이북 지역은 지구의 약 0.3%에 불과하지만 대부분의 원통 절충 투영이 여기에 화면의 3~5%를 할애하는 것과 대비됩니다. 수식은 Web Mercator처럼 구형 지구를 가정하며, 타원체 지구는 등적위도(authalic latitude)에서 등각위도(conformal latitude)로의 변환을 투영 전에 트위닝해 지원할 수 있습니다. 개발 동기는 화성의 시계와 동기화되는 서행 선박 시뮬레이션(약 37일 주기로 세계 일주)에 쓸 2:1 비율 세계지도를 원했기 때문이며, 선행 연구로 Miller 원통 투영, Arden-Close 원통 투영(1947), Jenny와 Patterson의 Flex Projector(2013, Equal Earth의 기반이 된 도구), Mapbox Adaptive Projections(2021), Fong(2012)의 블렌딩 원통 투영 등을 열거합니다. 후속 글에서 코닉 투영 적용 등 기하학적 의미를 더 다룰 예정입니다.

Lobsters 반응

• @fly — UN 결의의 취지는 지지하지만, 실제로는 세계지도 전체보다 일부 지역을 보는 경우가 대부분이라 남북과 동서가 직교하는 Web Mercator가 자신의 사용 사례에는 더 낫다는 반응입니다.

원문: benjoffe.com (via Lobsters) / 번역·요약: Trawling